1 chance sur plus de 19 millions de remporter le jackpot du Loto
Intéressons-nous tout d’abord au cas du Loto. Son principe est, en apparence, simple : pour gagner le gros lot, il faut avoir sélectionné :
- les 5 bons numéros « normaux », compris entre 1 et 49 ;
- et le bon numéro complémentaire, choisi entre 0 et 9.
Exemples simples de calcul de probabilités
La probabilité de réalisation d’un évènement est un nombre compris entre 0 et 1. Elle se calcule comme le rapport entre le nombre de cas où l’évènement se réalise et le nombre de cas total. Par exemple, la probabilité d’obtenir « pile » lors d’un lancer de pièce est de 1/2. Il n’existe, en effet, que deux issues possibles à un lancer de pièce : pile ou face.
Autre exemple, légèrement plus difficile : quelle est la probabilité d’obtenir plus de 4 à un lancer de dé de 6 faces ? L’évènement « obtenir plus de 4 à un lancer de dé » se réalise dans deux cas : lorsque l’on obtient 5 et lorsque l’on obtient 6. 6 issues différentes sont, par ailleurs, possibles à la suite d’un lancer de dé à 6 faces. La probabilité d’obtenir plus de 4 à un lancer de dé à 6 faces est donc de 2/6=1/3.
Prenons le cas d’un individu ayant rempli une grille : il a donc choisi 5 numéros normaux. Quelle est la probabilité que ce choix corresponde au tirage du Loto ? Pour le savoir, il faut, tout d’abord, déterminer le nombre total de combinaisons. Quel est-il ?
Pour le premier numéro, 49 tirages sont possibles. Pour le deuxième, il n’y a plus que 48 possibilités : par définition, le premier numéro tiré ne peut, en effet, pas être tiré à nouveau. Pour le troisième numéro, il reste 49 possibilités moins les 2 numéros déjà tirés, soit 47 possibilités. Et ainsi de suite, jusqu’au cinquième numéro. Il existe donc 49*48*47*46*45 = 228 826 080 possibilités au total.
Le nombre de combinaisons possibles est donc de 228 826 080/120 = 1 906 884. Dans le cas du Loto, l’ordre d’apparition des numéros n’a, en effet, pas d’importance : pour 5 numéros donnés, il existe 120 manières de les ordonner… qui seront toutes gagnantes si ces 5 numéros sont ceux effectivement tirés !
Il existe donc une chance sur 1 906 884 de choisir les 5 bons numéros « normaux » du Loto.
Pour remporter le premier prix, il faut encore avoir choisi le bon numéro complémentaire. Il existe ici 10 possibilités différentes. On a donc une chance sur 19 068 840 de gagner le jackpot du Loto. Cela représente une probabilité de 0,000000052.
Possibilité de gagner au Loto expliquée par les formules mathématiques
1 chance sur plus de 139 millions de remporter le jackpot de l’EuroMillions
La probabilité de remporter le jackpot de l’EuroMillions est encore plus faible. Pour cela, il faut, en effet, avoir choisi :
- les 5 bons numéros « normaux », compris entre 1 et 50 ;
- et les 2 bonnes étoiles, sélectionnées parmi les nombres entiers entre 1 et 12.
En appliquant le même raisonnement que précédemment, on trouve qu’il existe une chance :
- sur 2 118 760 d’avoir choisi les 5 bons numéros, soit (46*47*48*49*50) / (1*2*3*4*5)
- sur 65,5 d’avoir coché les 2 bonnes étoiles, soit (2/12) * (1/11).
La multiplication de ces deux probabilités indique que la chance de gagner le gros lot à l’EuroMillions est de 1 sur 138 778 780 (2 118 760 *65,5), soit une probabilité de 0,00000000720571257.
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