Déterminer le rendement d’une obligation

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Déterminer le rendement d’une obligation peut se révéler relativement simple si on s’intéresse au rendement courant mais peut se révéler plus complexe si on s’intéresse au rendement à l’échéance, c’est-à-dire au rendement effectif de l’obligation.

Le rendement courant

Le rendement courant correspond  au rapport du coupon annuel au prix de l’obligation à un moment donné. Son calcul est relativement simple. Il suffit de diviser la valeur du coupon par le cours boursier de l’obligation, soit :

Rendement courant obligation

Une obligation offre un coupon de 4,8 %. Son cours boursier est de 96. Le rendement du coupon (ou rendement courant) est donc égal à 5 % ((4,8/96)×100)).

Le rendement à échéance (ou rendement actuariel)

Le rendement à échéance correspond au rendement d’une obligation qui serait détenue par un investisseur jusqu’à son échéance. Il est également appelé rendement actuariel, rendement effectif ou encore « yield to maturity » dans la littérature anglo-saxonne. Contrairement au rendement courant, son calcul prend en compte d’autres éléments que le simple coupon tels que le prix de l’obligation, l’échéance, etc.

La méthode des intérêts composés

Pour calculer le rendement à échéance d’une obligation, on utilise la méthode des intérêts composés. Cette méthode permet de prendre en compte le fait que l’intérêt lié à la détention d’une obligation est réintégré chaque année au capital et engendre lui-même des intérêts.

Un investisseur achète aujourd’hui une obligation 100 euros. Elle donne droit au versement d’un coupon tous les ans égal à 3 %. Ce dernier souhaite savoir la valeur acquise par cet investissement au bout d’un an, de deux ans, etc. Pour connaitre la valeur future du placement, on utilise la méthode des intérêts composés. Les calculs sont les suivants :

  • au bout d’un an : 100 + (100 × 0,03)  = 103 €

  • au bout de deux ans : 103 + (103 × 0,03) = 103  × (1 + 0,03) = 106,09 €

  • au bout de trois ans : 106,09 + (106,09 × 0,03) = 106,09 × (1 + 0,03) = 109,27 €

  • Etc.

À partir de l’exemple précédent, on obtient la formule suivante pour calculer la valeur future d’une obligation :

Calcul de la future valeur d une obligation

Avec les données de l’exemple précédent, la valeur future de l’obligation au bout de 10 ans donne :

 VF=100 ×(1+ 0,03)^10= 134,39 €

134,39 euros est donc la valeur future de l’obligation d’une valeur nominale de 100 euros de coupon 3 %. 

Le taux de rendement actuariel (TRA) ou rendement à échéance d’une obligation zéro coupon

Le taux de rendement actuariel est le taux qui permet d’égaliser la valeur actuelle de l’obligation avec la somme des flux futurs perçus, c’est-à-dire les coupons et le prix de remboursement à l’échéance du titre. Autrement dit, il est équivalent au taux d’intérêt que percevrait un investisseur qui détiendrait l’obligation jusqu’à son terme. Dans le langage courant, il correspond au rendement de l’obligation.

Il permet de comparer la rentabilité d’obligations présentant des prix et des coupons différents.

Pour calculer le taux de rendement actuariel, il suffit d’appliquer la formule suivante  :

Rendement actuariel d obligations

À noter que lorsque le prix de l’obligation (la valeur actuelle) augmente, le taux de rendement actuariel diminue et inversement.

Cette formule correspond à l’égalisation de la valeur actuelle et de la valeur future lorsqu’on calcule le rendement d’une obligation dans l’exemple précédent.

Un investisseur achète une obligation un an avant son échéance. Son prix sur le marché est de 96 euros et son prix de remboursement (valeur faciale le plus souvent) s’élève à 100 euros. Il s’agit d’une obligation zéro coupon. Elle ne verse donc pas de coupon. Dans ce cas, le taux de rendement actuariel de l’obligation se calcule de la façon suivante : 

Rendement actuariel obligation

Le taux de rendement actuariel de l’obligation est donc de 4,1 %.

Le taux de rendement actuariel  ou rendement à échéance d’une obligation « couponnée »

Pour calculer le taux de rendement actuariel d’une obligation assortie d’un coupon, le calcul se révèle plus complexe car le versement d’un coupon intervient tous les ans à une date prédéterminée.

Il existe néanmoins une méthode pour rendre compte approximativement du rendement d’une obligation couponnée. Elle s’effectue en deux étapes selon deux cas de figure :

Rendement d une obligation couponnee

Un investisseur achète une obligation qui cote 102,5 % et qui offre un coupon de 4,5 % en 2014. Le remboursement de l’obligation interviendra en 2022. L’échéance résiduelle est donc de 8 ans. 

Rendement courant

Le cours boursier est supérieur à 100 % donc :

Taux de rendement de l obligation

Le taux de rendement de l’obligation est donc de 4,08 %.

Dans le cas où l’obligation aurait affiché un cours boursier de 97,5 %, le taux de rendement de l’obligation aurait été de 4,93 % (4,62 + 0,31). En effet, il aurait fallu recalculer le rendement courant ((4,5 / 97,5)×100).

    153 commentaires sur “Déterminer le rendement d’une obligation”
    1. bonjour
      je souhaiterais savoir comment determiner le prix du zero-coupon
      lorsqu’on a comme données une échéance en année, le taux d’intérêt et la valeur faciale ? lmerci

      1. Bonjour,
        La formule générale est la suivante : B_T = (1+i)^(T-t) B_t où B_T est la valeur de l’obligation à la date T, B_t la valeur de l’obligation à la date t et i le taux d’intérêt. Dans votre cas, vous connaissez la valeur du taux d’intérêt et B_T (ici, la valeur de remboursement). En réarrangeant les termes de l’équation, vous pouvez ensuite en déduire facilement B_t (ici, la valeur actuelle de l’obligation).
        Meilleures salutations,
        L’Equipe de Lafinancepourtous.com

    2. bonjour je souhaiterais avoir un eclairage pour traiter ces exercices de mathematique financière
      Exercice : courbe des taux sur 3 ans
      echeance 1 a pour facteur d’actualisation 0,9615
      echeance 2 a pour facteur d’actualisation 0,9105
      et l’echeance 3 a pour facteur d’actualisation 0,8565

      il est demander de calculer le prix des obligations d’Etat suivantes et elles ont toutes pour valeur nominale 100F cfa :
      a) un zéro-coupon venant a echeance dans 3 ans
      b) une obligation venant à echéance dans un an et versant un coupon de 4%
      c) une obligation venant à echeance dzns trois ans et versant un coupon de 4%
      et d) le taux nominal d’un nouvel emprunt émis par l’Etat ,de valeur faciale 100 Fcfa et venant à echeance dans 3 ans .l’emprunt est emis au pair

      1. Bonjour,
        Nous n’avons pas vocation à résoudre vos exercices à votre place. Si vous nous indiquez quelles difficultés vous rencontrez, nous pourrons toutefois essayer de vous mettre sur la voie.
        Meilleures salutations,
        L’Equipe de Lafinancepourtous.com

      2. Bonjour,
        Vous pouvez utiliser les formules données ci-dessus.
        Meilleures salutations,
        L’Equipe de Lafinancepourtous.com

    3. determiner le rendement actuarial annuel ou annualisé des obligations suivantes :
      a) obligation A – maturité 30 ans ,coupons annuel : 5%,prix: 100€;
      b)obligation B – maturité 2 ans ,coupons annuel :6%,prix: 106€
      c) obligation c – maturité 1an ,coupon zéro ,prix : 95 $
      d) obligation D -maturité 13 ans ,nominal 1000$ ,coupons semi-annuel 50$,prix : 1000$

      1. Bonjour,
        Vous pouvez utiliser les formules données ci-dessus.
        Meilleures salutations,
        L’Equipe de Lafinancepourtous.com

    4. une obligation à taux fixe a les caractéristiques suivantes: maturité 6 ans, coupon 3%, remboursement au pair. Le rendement de marché est de 6%. quelle est sa duration?

      1. Bonjour,
        En toute généralité, la duration est égale à : (1/B) * Somme pour t allant de 1 à T de (t * ct) / (1 + i)^t, où B est la valeur de l’obligation, ct le cash flow généré par l’obligation à la date t et i le yield to maturity de l’obligation.
        Meilleures salutations,
        L’Equipe de Lafinancepourtous.com

    5. Soient 2 obligations 01 et 02 présentant le 5 août 2015 les caractéristiques suivantes :
      01
      VN = 1 €
      Taux facial = 4,25%
      Emission et Remboursement in fine au pair
      Coupon annuel
      Versement du prochain coupon dans 365 jours
      Maturité 5 ans
      Rendement actuariel = 4,5%
      02
      VN = 1 €
      Taux facial = 5%
      Emission et Remboursement in fine au pair
      Coupon annuel
      Versement du prochain coupon dans 219 jours
      Maturité 6 ans et 219 jours
      Rendement actuariel = 4,5%
      Questions :
      1) Calculer le prix, la fraction du coupon couru et le cours des 2 obligations
      2) Déterminez la duration et la sensibilité
      3) Vous voulez construire un portefeuille présentant une duration de 5 ans. Comment allez vous structurer

      merci besoin d’aide

      1. Bonjour,
        Nous n’avons pas vocation à résoudre vos exercices à votre place. Si vous nous indiquez quelles difficultés vous rencontrez, nous pourrons toutefois essayer de vous mettre sur la voie.
        Meilleures salutations,
        L’Equipe de Lafinancepourtous.com

    6. bonsoir veuillez m’aider par rapport a cet exercice. un emprunt d’obligations est cinstitué de titre de valeur nominale 20000f remboursable a 20500f, emis a 20000f. taux d’interet 13,50%. Remboursement de toutes les obligation en une seule fois, au bout de 12ans. paiement annuel des interets.
      Calculer a l’emission le taux de rendement de cet emprunt

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